单位根过滤在组合与数论问题中的应用

张贺佳

佛山市顺德区第一中学,528300

摘要：(本讲适合高中) 利用单位根过滤(筛选思想)是组合数学中一种经典且广泛使用的方法,尤其是处理涉及周期性或取模(同余)条件下的组合计数问题时,往往利用单位根结合生成函数进行解决.本文通过分析子集计数、圆环染色、随机游走及整数整除性等一系列经典问题,展示单位根过滤在组合计数与数论证明中的应用.

机标关键词：单位根根过滤

机标分类号：X5(环境污染及其防治)F224.0(经济计算、经济数学方法)F832.5(金融、银行)

以判别子为背景的数学竞赛命题

李伟

江苏省天一中学,210041

摘要：判别子是数论中研究多项式的同余问题产生的概念.已知f(x)是多项式,若对任意正整数n,f(n)都是正整数且f(1)＜f(2)＜…＜f(n),定义f(x)的判别子Df(n)为使得f(1),f(2),…,f(n)模m后两两不同余的最小正整数m.本文举例介绍其应用.

机标关键词：数学竞赛

机标分类号：G633.6(中等教育)O157.6(代数、数论、组合理论)G424.28(教学理论)

一组组合恒等式的组合证明

苏淳 1 江涛 2

1.中国科学技术大学管理学院,2300262.浙江工商大学杭州商学院,311508

摘要：通过构造适当的组合模型,用两种不同方法计算其中的有关计数对象的数目,达到证明恒等式的目的,是概率论中的一种常用证明方法.本文通过若干例题来展示构造组合模型的方法.这种方法的优点是直观,缺点是有时文字叙述较长.所以是否选用这种方法需要根据具体场合下的具体问题的特点来决定.

机标关键词：组合恒等式组合证明

机标分类号：O157(代数、数论、组合理论)O242.1(计算数学)TP391.7(计算技术、计算机技术)

目录

数学活动课程讲座

单位根过滤在组合与数论问题中的应用

张贺佳2-8

命题与解题

以判别子为背景的数学竞赛命题

李伟9-14

一道IMO试题的推广

沈毅14-15

一道赛题引申出的问题

刘伟才15-17

强基与数学竞赛

子集个数:模素数意义下均匀分布的剖析与推广

齐亚超,黄鹤,孙宗汉18-23

专题写作

一组组合恒等式的组合证明

苏淳,江涛23-25

Nagell定理

刘培杰,陈启远,刘立娟26-28

竞赛之窗

第67届IMO试题

瞿振华29

2026欧洲女子数学奥林匹克

孔嘉30-34

2025年上海市高三数学竞赛

组委会